ALJABAR LINIER
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS SISTEM PERSAMAAN LINIER
SPL mempunyai m persamaan dan n variable.
Matris yang diperbesar (augmented matrix)
Contoh : Solusi Tunggal
(g_1=2x-3y=6@g_2=3x+y=4)
Contoh : Solusi Banyak
g1 = 2x - 3y = 6
g2 = 2x – 3y =6
m < n
Contoh : Tidak Konsisten
(g_1=2x-3y=6@g_2=2x-3y=8)/(0 = -2)
0 = Konstanta
2.2 ELIMINASI GAUSS
Pada bagian ini kita akan memberikan prosedur yang sistematik untuk memecahkan sistem-sistem persamaan linear; prosedur tersebut didasarkan kepada gagasan untuk mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk yang cukup sederhana sehingga sistem persamaan tersebut dapat dipecahkan dengan memeriksa sistem tersebut.
Matriks di atas adalah contoh matriks yang dinyatakan dalam bentuk eselon baris terreduksi (reduced row-echelon form). Supaya berbentuk seperti ini, maka matriks tersebut harus mempunyai sifat-sifat berikut.
Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris tersebut
adalah 1. (Kita namakan 1 utama).
Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks.
Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi.
Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain.
Matriks yang memiliki sifat-sifar 1,2 dan 3 dapat dikatakan dalam bentuk eselon baris (row-echelon form).
Prosedur untuk meredusi matriks menjadi bentuk eselon baris terreduksi dinamakan eliminasi Gauss-Jordan, sedangkan untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris dinamakan eliminasi Gauss.
Sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian adalah
x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0
x3 + 2x4 = 0
x6 = 1/3
Dengan memecahkannya untuk peubah peubah utama, maka kita dapatkan
x1 = – 3x2 – 4x4 – 2x5
x3 = – 2x4
x6 = 1/3
Jika kita menetapkan nilai-nilai sebarang r, s, dan t berurutan untuk x2, x4, dan x5, maka himpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus-rumus
x1 = – 3r – 4s – 2t , x2 = r , x3 = – 2s , x4 = s , x5 = t , x6 = 1/3
Terkadang lebih mudah memecahkan sistem persamaan linear dengan menggunakan eliminasi Gauss untuk mengubah matriks yang diperbesar menjadi ke dalam bentuk eselon baris tanpa meneruskannya ke bentuk eselon baris terreduksi. Bila hal ini dilakukan, maka sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian dapat dipecahkan dengan sebuah cara yang dinamakan substitusi balik (back-substitution).
Untuk memecahkan sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian
x1 + 3x2 – 2x3 + 2x5 = 0
x3 + 2x4 + 3x6 = 1
x6 = 1/3
maka kita memprosesnya sebagai berikut :
x1 = – 3x2 + 2x3 – 2x5
x3 = 1 – 2x4 – 3x6
x6 = 1/3
Dengan mensubstitusikan x6 = 1/3 ke dalam persamaan kedua maka akan menghasilkan
x1 = – 3x2 + 2x3 – 2x5
x3 = – 2x4
x6 = 1/3
Dengan mensubstitusikan x3 = – 2x4 ke dalam persamaan pertama maka akan menghasilkan
x1 = – 3x2 – 4x4 – 2x5
x3 = – 2x4
x6 = 1/3
Jika kita menetapkan nilai-nilai sebarang r, s, dan t berurutan untuk x2, x4, dan x5, maka himpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus-rumus
x1 = – 3r – 4s – 2t , x2 = r , x3 = – 2s , x4 = s , x5 = t , x6 = 1/3
Ini sesuai dengan pemecahan yang diperoleh pada contoh 1.
2.3 SISTEM PERSAMAAN LINIER HOMOGEN
Sebuah sistem persamaan-persamaan linier dikatakan homogen jika semua suku konstan sama dengan nol; yakni sistem tersebut mempunyai bentuk
a11x1 + a12x2 + ……+ a1nxn = 0
a21x2 + a22x2 + ……+ a2nxn = 0
: : : :
am1x1 + am2x2 + ……+ amnxn = 0
Tiap-tiap sistem persamaan linier homogen adalah sistem yang konsisten, karena x1 = 0, x2 = 0,….., xn = 0 selalu merupakan pemecahan. Pemecahan terebut, dinamakan pemecahan trivial (trivial solution); jika ada pemecahan lain, maka pemecahan tersebut dinamakan pemecahan taktrivial (nontrivial solution). Karena sistem persamaan linier homogen harus konsisten, maka terdapat satu pemecahan atau tak terhingga banyaknya pemecahan. Karena salah satu di antara pemecahan ini adalah pemecahan trivial, maka kita dapat membuat pernyataan berikut. Untuk sistem persamaan-persamaan linier homogeny, maka persis salah satu di antara pernyataan berikut benar.
Sistem tersebut hanya mempunyai pemecahan trivial.
Sistem tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan tak trivial sebagai tambahan terhadap pemecahan trivial tersebut.
Terdapat satu kasus yang sistem homogennya dipastikan mempunyai pemecahan tak trivial ; yakni, jika sistem tersebut melibatkan lebih banyak bilangan tak diketahui dari banyaknya persamaan. Untuk melihat mengapa hanya demikian, tinjaulah contoh berikut dari empat persamaan dengan lima bilangan tak diketahui. Contoh :
Pecahkanlah sistem persamaan-persamaan linier homogeny berikut dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.
2X + 2X2 – X3 + X5 = 0
-X1 – X2 + 2X3 – X4 + X5 = 0
X1 + X2 – 2X3 - 5X5 = 0
X3 + X4 + X5 = 0
Dengan mereduksi matriks ii menjadi bentuk eselon baris tereduksi
Sistem persamaan yang bersesuaian adalah X1 + X2 + X5 = 0
X3 + X5 = 0
X4 = 0
Dengan memecahkannya untuk peubah-peubah utama maka akan menghasilkan
X1 = -X2 – X5
X3 = -X5
X4 = 0
Maka himpunan pemecahan akan di berikan oleh
X1 = -s – t, X2 = s, X3 = -t , X4 = 0, X5 = t
Perhatikan bahwa pemecahan trivial kita dapatkan bila s = t = 0.
MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS
Matriks
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.
Operasi Matriks
Penjumlahan :
Definisi : jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang di peroleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat di tambahkan.
Sedangkan A + C dan B + C tidak di definisikan.
Perkalian dengan konstanta
Definisi : Jka A adalah suatu matriks dan c adalah scalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing=masing entri dari A oleh c.
Perkalian, dengan syarat Am x n Bn x o = Cm x o
Definisi : Jika A adalah matriks m x r dan B matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang entri- entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris I dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan.
Transpose
Definisi : Jika A adalah sebarang matriks m x n, maka Transpos A dinyatakan oleh At dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertmanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juaga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A, dan seterusnya.
2.5 ATURAN-ATURAN ILMU HITUNG MATRIKS
Walaupun banyak dari aturan-aturan ilmu hitung bilangan riil berlaku juga untuk matriks, namun terdapat beberapa pengecualian. Salah satu dari pengecualian yang terpenting terjadi dalam perkalian matriks. Untuk bilangan-bilangan rill a dan b, kita selalu mempunyai ab = bayang sering dinamakan hukum komutatif untuk perkalian. Akan tetapi, untuk matriks-matriks, maka AB dan BA tidak perlu sama. Contoh 20
Tinjaulah matriks-matriks
Jadi, (AB)C = A(BC), seperti yang dijamin oleh Teorema 2(c).
Bukti. Jika AX = B adalah sistem persamaan linear, maka persis satu dari antara berikut akan benar: (a) sistem tersebut tidak mempunyai pemecahan, (b) sistem tersebut mempunyai persis satu pemecahan, atau (c) sistem tersebut mempunyai lebih dari satu pemecahan. Bukti tersebut akan lengkap jika kita dapat memperlihatkan bahwa sistem tersebut mempunyai takhingga banyaknya pemecahan dalam kasus (c).
Contoh 23
Tinjaulah matriks
Maka
Contoh 24
Matriks adalah invers dari
Bukti. Karena B adalah invers A, maka BA = I. Dengan mengalikan kedua ruas dari sebelah kanan dengan C maka akan memberikan (BA)C = IC = I. Tetapi (BA)C = B(AC) = BI = B, sehingga B = C.
Contoh 26
Tinjaulah matriks 2x2
Jika ad – bc ≠ 0,
Bukti. Jika kita dapat memperlihatkan bahwa (AB)(A B ) = (B A )(AB)=I, maka kita telah secara serempak membuktikan bahwa AB dapat dibalik dan bahwa (AB) = B A . Tetapi (AB)(B A ) = AIA = AA = I. Demikian juga (B A )(AB) = I.
Tinjaulah matriks-matriks
Dengan menerapkan rumus yang diberikan dalam contoh 25, kita dapatkan
Maka, (AB)-1 = B-1A -1 seperti yang dijamin oleh Teorema 6.
Teorema berikut, yang kita nyatakan tanpa bukti, menunjukkan bahwa hukum-hukum yang sudah dikenal dari eksponen adalah shahih.
Teorema selanjutnya menetapkan beberapa sifat tambahan yang berguna dari eksponen matriks tersebut.
Bukti.
Karena AA-1 = A-1 A = I, maka A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1 = A.
Jika k adalah sebarang scalar yang taksama dengan nol, maka hasil (l) dan (m) dari
Demikian juga (kA) = I sehingga kA dapat dibalik dan (kA)-1 = .
Kita simpulkan bagian ini dengan sebuah Teorema yang menyenaraikan sifat-sifat utama dari operasi transpose.
SPL mempunyai m persamaan dan n variable.
Matris yang diperbesar (augmented matrix)
Contoh : Solusi Tunggal
(g_1=2x-3y=6@g_2=3x+y=4)
Contoh : Solusi Banyak
g1 = 2x - 3y = 6
g2 = 2x – 3y =6
m < n
Contoh : Tidak Konsisten
(g_1=2x-3y=6@g_2=2x-3y=8)/(0 = -2)
0 = Konstanta
2.2 ELIMINASI GAUSS
Pada bagian ini kita akan memberikan prosedur yang sistematik untuk memecahkan sistem-sistem persamaan linear; prosedur tersebut didasarkan kepada gagasan untuk mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk yang cukup sederhana sehingga sistem persamaan tersebut dapat dipecahkan dengan memeriksa sistem tersebut.
Matriks di atas adalah contoh matriks yang dinyatakan dalam bentuk eselon baris terreduksi (reduced row-echelon form). Supaya berbentuk seperti ini, maka matriks tersebut harus mempunyai sifat-sifat berikut.
Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris tersebut
adalah 1. (Kita namakan 1 utama).
Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks.
Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi.
Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain.
Matriks yang memiliki sifat-sifar 1,2 dan 3 dapat dikatakan dalam bentuk eselon baris (row-echelon form).
Prosedur untuk meredusi matriks menjadi bentuk eselon baris terreduksi dinamakan eliminasi Gauss-Jordan, sedangkan untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris dinamakan eliminasi Gauss.
Sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian adalah
x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0
x3 + 2x4 = 0
x6 = 1/3
Dengan memecahkannya untuk peubah peubah utama, maka kita dapatkan
x1 = – 3x2 – 4x4 – 2x5
x3 = – 2x4
x6 = 1/3
Jika kita menetapkan nilai-nilai sebarang r, s, dan t berurutan untuk x2, x4, dan x5, maka himpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus-rumus
x1 = – 3r – 4s – 2t , x2 = r , x3 = – 2s , x4 = s , x5 = t , x6 = 1/3
Terkadang lebih mudah memecahkan sistem persamaan linear dengan menggunakan eliminasi Gauss untuk mengubah matriks yang diperbesar menjadi ke dalam bentuk eselon baris tanpa meneruskannya ke bentuk eselon baris terreduksi. Bila hal ini dilakukan, maka sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian dapat dipecahkan dengan sebuah cara yang dinamakan substitusi balik (back-substitution).
Untuk memecahkan sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian
x1 + 3x2 – 2x3 + 2x5 = 0
x3 + 2x4 + 3x6 = 1
x6 = 1/3
maka kita memprosesnya sebagai berikut :
x1 = – 3x2 + 2x3 – 2x5
x3 = 1 – 2x4 – 3x6
x6 = 1/3
Dengan mensubstitusikan x6 = 1/3 ke dalam persamaan kedua maka akan menghasilkan
x1 = – 3x2 + 2x3 – 2x5
x3 = – 2x4
x6 = 1/3
Dengan mensubstitusikan x3 = – 2x4 ke dalam persamaan pertama maka akan menghasilkan
x1 = – 3x2 – 4x4 – 2x5
x3 = – 2x4
x6 = 1/3
Jika kita menetapkan nilai-nilai sebarang r, s, dan t berurutan untuk x2, x4, dan x5, maka himpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus-rumus
x1 = – 3r – 4s – 2t , x2 = r , x3 = – 2s , x4 = s , x5 = t , x6 = 1/3
Ini sesuai dengan pemecahan yang diperoleh pada contoh 1.
2.3 SISTEM PERSAMAAN LINIER HOMOGEN
Sebuah sistem persamaan-persamaan linier dikatakan homogen jika semua suku konstan sama dengan nol; yakni sistem tersebut mempunyai bentuk
a11x1 + a12x2 + ……+ a1nxn = 0
a21x2 + a22x2 + ……+ a2nxn = 0
: : : :
am1x1 + am2x2 + ……+ amnxn = 0
Tiap-tiap sistem persamaan linier homogen adalah sistem yang konsisten, karena x1 = 0, x2 = 0,….., xn = 0 selalu merupakan pemecahan. Pemecahan terebut, dinamakan pemecahan trivial (trivial solution); jika ada pemecahan lain, maka pemecahan tersebut dinamakan pemecahan taktrivial (nontrivial solution). Karena sistem persamaan linier homogen harus konsisten, maka terdapat satu pemecahan atau tak terhingga banyaknya pemecahan. Karena salah satu di antara pemecahan ini adalah pemecahan trivial, maka kita dapat membuat pernyataan berikut. Untuk sistem persamaan-persamaan linier homogeny, maka persis salah satu di antara pernyataan berikut benar.
Sistem tersebut hanya mempunyai pemecahan trivial.
Sistem tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan tak trivial sebagai tambahan terhadap pemecahan trivial tersebut.
Terdapat satu kasus yang sistem homogennya dipastikan mempunyai pemecahan tak trivial ; yakni, jika sistem tersebut melibatkan lebih banyak bilangan tak diketahui dari banyaknya persamaan. Untuk melihat mengapa hanya demikian, tinjaulah contoh berikut dari empat persamaan dengan lima bilangan tak diketahui. Contoh :
Pecahkanlah sistem persamaan-persamaan linier homogeny berikut dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.
2X + 2X2 – X3 + X5 = 0
-X1 – X2 + 2X3 – X4 + X5 = 0
X1 + X2 – 2X3 - 5X5 = 0
X3 + X4 + X5 = 0
Dengan mereduksi matriks ii menjadi bentuk eselon baris tereduksi
Sistem persamaan yang bersesuaian adalah X1 + X2 + X5 = 0
X3 + X5 = 0
X4 = 0
Dengan memecahkannya untuk peubah-peubah utama maka akan menghasilkan
X1 = -X2 – X5
X3 = -X5
X4 = 0
Maka himpunan pemecahan akan di berikan oleh
X1 = -s – t, X2 = s, X3 = -t , X4 = 0, X5 = t
Perhatikan bahwa pemecahan trivial kita dapatkan bila s = t = 0.
MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS
Matriks
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.
Operasi Matriks
Penjumlahan :
Definisi : jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang di peroleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat di tambahkan.
Sedangkan A + C dan B + C tidak di definisikan.
Perkalian dengan konstanta
Definisi : Jka A adalah suatu matriks dan c adalah scalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing=masing entri dari A oleh c.
Perkalian, dengan syarat Am x n Bn x o = Cm x o
Definisi : Jika A adalah matriks m x r dan B matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang entri- entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris I dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan.
Transpose
Definisi : Jika A adalah sebarang matriks m x n, maka Transpos A dinyatakan oleh At dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertmanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juaga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A, dan seterusnya.
2.5 ATURAN-ATURAN ILMU HITUNG MATRIKS
Walaupun banyak dari aturan-aturan ilmu hitung bilangan riil berlaku juga untuk matriks, namun terdapat beberapa pengecualian. Salah satu dari pengecualian yang terpenting terjadi dalam perkalian matriks. Untuk bilangan-bilangan rill a dan b, kita selalu mempunyai ab = bayang sering dinamakan hukum komutatif untuk perkalian. Akan tetapi, untuk matriks-matriks, maka AB dan BA tidak perlu sama. Contoh 20
Tinjaulah matriks-matriks
Jadi, (AB)C = A(BC), seperti yang dijamin oleh Teorema 2(c).
Bukti. Jika AX = B adalah sistem persamaan linear, maka persis satu dari antara berikut akan benar: (a) sistem tersebut tidak mempunyai pemecahan, (b) sistem tersebut mempunyai persis satu pemecahan, atau (c) sistem tersebut mempunyai lebih dari satu pemecahan. Bukti tersebut akan lengkap jika kita dapat memperlihatkan bahwa sistem tersebut mempunyai takhingga banyaknya pemecahan dalam kasus (c).
Contoh 23
Tinjaulah matriks
Maka
Contoh 24
Matriks adalah invers dari
Bukti. Karena B adalah invers A, maka BA = I. Dengan mengalikan kedua ruas dari sebelah kanan dengan C maka akan memberikan (BA)C = IC = I. Tetapi (BA)C = B(AC) = BI = B, sehingga B = C.
Contoh 26
Tinjaulah matriks 2x2
Jika ad – bc ≠ 0,
Bukti. Jika kita dapat memperlihatkan bahwa (AB)(A B ) = (B A )(AB)=I, maka kita telah secara serempak membuktikan bahwa AB dapat dibalik dan bahwa (AB) = B A . Tetapi (AB)(B A ) = AIA = AA = I. Demikian juga (B A )(AB) = I.
Tinjaulah matriks-matriks
Dengan menerapkan rumus yang diberikan dalam contoh 25, kita dapatkan
Maka, (AB)-1 = B-1A -1 seperti yang dijamin oleh Teorema 6.
Teorema berikut, yang kita nyatakan tanpa bukti, menunjukkan bahwa hukum-hukum yang sudah dikenal dari eksponen adalah shahih.
Teorema selanjutnya menetapkan beberapa sifat tambahan yang berguna dari eksponen matriks tersebut.
Bukti.
Karena AA-1 = A-1 A = I, maka A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1 = A.
Jika k adalah sebarang scalar yang taksama dengan nol, maka hasil (l) dan (m) dari
Demikian juga (kA) = I sehingga kA dapat dibalik dan (kA)-1 = .
Kita simpulkan bagian ini dengan sebuah Teorema yang menyenaraikan sifat-sifat utama dari operasi transpose.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar